Кольца Френеля с бинарным профилем

В прямоугольной системе координат континуальное изображение колец Френеля с бинарным профилем и светлой центральной зоной, в соответствии с выражением (2), определяется выражением:

.               (19)

Выражение для значений яркости элементов цифрового позитивного изображения колец с бинарным профилем с выборкой континуального значения в центре пикселя:

 

 

.            (20)

Аналогично, из (4) получим выражение для значений яркости элементов цифрового негативного изображения колец с бинарным профилем:

          .                 (21)


Выражения (20) и (21) позволяет синтезировать растровое изображение колец Френеля с бинарным профилем, при использовании, например, пакета Mathcad. Изображение на рис. 6 синтезировано в соответствии с выражением (17) с учетом соотношения (3) при значениях: , , .

Проведем усреднение значений континуального образа колец по площади каждого из квадратных пикселей, на которые мы разбиваем этот образ. Такое усреднение можно представить интегрированием выражения (19) в пределах размеров пикселя –  с последующей выборкой значений интеграла в центрах пикселей. Запишем выражение для интеграла выражения (19):

  (22)

Для интегрирования выражения (22) воспользуемся равенствами:

,                       (23)

,             (24)

 

.    (25)

Интегрирование удобно начинать в полярной системе координат – , в связи с центральной симметрией колец Френеля, с последующим переходом к декартовой системе координат – , при соотношениях между системами:  , в соответствии с рисунком 7. На этом рисунке также приведена система координат цифрового (растрового) изображения –  , с началом, как принято, в верхнем правом углу изображения. Центры пикселей цифрового изображения обозначены небольшими колечками, а один из пикселей квадратом с углами: A, B, C, D. Начало - O координат   совпадает с центром одного из пикселей с координатами   и с центром бинарных колец Френеля, показанных здесь в серых тонах.

Процедура интегрирования выражения (22) сводится к интегрированию по площадям треугольников: OAB, OBC, ODC и OAD с последующим вычислением разности суммы выражений для двух первых треугольников и суммы выражений для двух последних. Обычно решения подобных задач на интегрирование имеют довольно громоздкий характер. Наш случай не исключение. Листинг программы вычисления значений пикселей цифрового изображения колец Френеля с бинарным профилем в системе Mathcad, обеспечивающей максимальное приближение к естественной форме записи математических выражений занимает две страницы текста без комментариев. Практически важно то, что расчет по такой программе вполне укладывается в реальный масштаб времени. Заметим, что полученное нами решение для значения интеграла выражения (22) является точным, как и приведенные выражения (23) – (25).

На рисунке 8 приведено изображение колец Френеля с бинарным профилем, синтезированное с использованием полученного решения для значения интеграла выражения (22) с усреднением значений континуального образа колец по площади каждого квадратного пикселя изображения. Интересно сравнить этот рисунок с рисунками 6 и 3.

Как и в случае перехода от выражения (14) к выражению (15), рис. 8 получен в предположении, что расстояние между центрами пикселей, расположенных в узлах прямоугольной решетки, равно единице, а начало координат x и y (центр колец Френеля) совпадает с центром пикселя . Изображение рис. 8 позитивное, а уровни его яркости ограничены значениями   и , заданными при использовании зависимости, аналогичной используемой в выражении (3).


Обычно, при съемке испытательного изображения колец Френеля с помощью цифровой фото- или телекамеры центр колец не совпадает с центром пикселя . И поэтому картина посторонних узоров может отличается от изображенной на приведенных выше рисунках. 

Для моделирования относительных сдвигов растра цифрового изображения и колец Френеля следует ввести в приведенные выше математические выражения специальные параметры сдвига:  и  .