Скорость звука

Информация о материале
Категория: Математическая модель улитки внутреннего уха
Опубликовано: 10.01.2015 11:49
Автор: Павел Варгин

В разных средах звук распространяется с различными скоростями. В воздухе его скорость 340 м/сек, в воде 1400 м/сек, а в артерии человека скорость пульсовой волны 10 м/сек.

Известно [8], что скорость звука в неограниченной среде:

, где: - плотность среды, - сжимаемость среды, - изменение плотности среды при изменении звукового давления .

Если звук распространяется в узкой трубке, то растяжимость ее стенок, под действием звукового давления эквивалентна увеличению сжимаемости среды заполняющей трубку. Этим объясняется низкая скорость звука в артерии или резиновом огородном шланге. Растяжимость оценивается величиной  где:  – площадь сечения трубки, - изменение площади сечения под действием звукового давления .  

Прямой канал улитки внутреннего уха (рис. 1) расположен в кости черепа, которая обладает низкой растяжимостью, но стенки основного и особенно промежуточного канала, в который легко передается изменение звукового давления через рейснерову мембрану, выстланы более податливой клетчаткой, что способствует увеличению суммарной площади сечения каналов под действием давления звука.

Однако наибольший вклад в увеличение площади сечения каналов вносит, подвижность основной мембраны улитки. Представляя эту мембрану совокупностью струн, мы можем считать, что этот вклад обусловлен изгибом струны, соответствующей данному сечению.

  Можно ввести эффективную сжимаемость жидкости каналов:

,

где: – растяжимость, обусловленная деформацией стенок каналов, - растяжимость, обусловленная деформацией основной мембраны улитки. Учитывая два первых слагаемых последнего выражения, получим:

- начальную скорость звука в улитке у овального окна (без учета действия основной мембраны).

В предыдущем разделе статьи отмечалось, что колебания струны содержат нечетные пространственные гармоники. При этом на длину струны Lприходится n полуволн данной гармоники. Все кроме одной полуволны компенсируют изгиб друг друга. Нескомпенсированная полуволна вносит вклад в увеличение площади сечения звукопровода.

Если изменение давления , то есть равно амплитуде звукового давления, то площадь, ограниченная одной полуволной гармоники с номером n в момент максимального звукового давления:

                          

Используя это равенство, а также  (7) и (9), получим выражение для растяжимости, обусловленной деформацией основной мембраны улитки:

Скорость звука в основном (промежуточном) канале улитки:

.          (12)

В последнем выражении введена ступенчатая функция , ограничивающая значение скорости звука величиной , для исключения слишком больших и даже мнимых значений скорости. Согласно выражению (12), скорость звука постепенно уменьшается от начальной  до минимальной скорости, а затем растет благодаря ускоряющему действию колеблющихся струн основной мембраны. Этот рост идет до значений, которые могут значительно превышать . Реально, скорость волны ограничена нелинейным характером ускоряющего действия, что не учитывается нашей линейной моделью. Отметим, что ускорение волны звука происходит в области улитки, где волна претерпела уже большое затухание и имеет пренебрежимо малую амплитуду.