Затухание звука
- Информация о материале
- Категория: Математическая модель улитки внутреннего уха
- Опубликовано: 10.01.2015 11:50
- Автор: Павел Варгин
Распространяясь в какой либо среде, звук испытывает затухание, то есть амплитуда звуковой волны уменьшается. Затухание может быть обусловлено несколькими причинами: расхождением волны, рассеянием звука на препятствиях или его поглощением. В прямом канале улитки первые две причины несущественны, а поглощение происходит в результате перехода энергии звуковой волны в тепловую энергию при движении основной мембраны под действием силы звукового давления, из-за вязкости окружающей среды и трения органа Корти о покровную мембрану.
При действии силы давления на элемент струны (рис. 3) гармоническая составляющая колебаний струны с номером n, амплитудой и фазой вносит свой вклад в смещение этого элемента за время dt. Этот вклад можно найти дифференцированием компоненты с номером n выражения (4) по времени:
(13)
Смещение элемента струны сопровождается возникновением силы трения. Часть силы давления на элемент , пропорциональная множителю в соответствии с рис. 5, противодействует этой силе трения. Поскольку противодействующая сила отличается по своей фазе от фазы смещения элемента, ее работа по смещению элемента уменьшается, причем также пропорционально множителю . Таким образом работа силы давления при смещении элемента на величину равна:
(14)
На длину струны L приходится нечетное число n полуволн гармоники. Четное число разнополярных полуволн при интегрировании по длине струны дает нулевое значение соответствующей части интеграла. Интегрируя выражение (14) по времени одного периода колебания струны и по длине одной полуволны гармоники , можно определить работу силы давления по преодолению сил трения при действии пространственной гармоники струны с номером n:
(15)
При действии всех гармоник работа против сил трения при вынужденных колебаниях струны в течении одного периода колебаний равна:
(16)
Мощность потерь энергии звуковой волны на участке основной мембраны длиной и шириной равна произведению этой величины на частоту волны взятому со знаком минус:
(17)
Плотность потока мощности звуковой волны в жидкости [8]:
,
где: - звуковое давление, - плотность жидкости, с – скорость звука.
Поток мощности в сечении основного и промежуточного каналов улитки:
, (18)
где: - площадь сечения.
Относительное уменьшение потока мощности на участке , с учетом значений величин, входящих в (17):
. (19)
Последнее выражение представляет собой дифференциальное уравнение с разделенными переменными и . Интегрируя обе его части получим равенство:
.
Определяя постоянную в его правой части из условия: ,
где: - звуковое давление возле овального окна улитки, при, получим:
. (20)
Подставляя в (20) значения и , получим зависимость амплитуды звукового давления в прямом (промежуточном) канале улитки как функцию расстояния от овального окна:
. (21)