Введение

 

В цифровой обработке изображений для тестирования результатов обработки широко используется испытательное изображение в виде концентрических колец (зон) Френеля (Fresnel zone plate pattern) [1]. Кольца Френеля являются пространственным аналогом временного сигнала линейной частотной модуляции – ЛЧМ и могут использоваться, подобно сигналу ЛЧМ, для определения передаточных характеристик (систем передачи изображений). В оптике изображение колец Френеля, нанесенное на стеклянную пластину, может использоваться для совершенно другой цели – фокусировки света, подобно стеклянной линзе. Кольца – зоны Френеля названы так в честь Огюста Жана Френеля (Augustin - Jean Fresnel) – французского физика, одного из создателей волновой теории света. Радиальный профиль яркости колец Френеля – F(r) может быть бинарным – двухступенчатым или к синусоидальным. На рис. 1(а) приведен вид колец с бинарным профилем, а на рис. 1(б) с синусоидальным. 

 

Все черные и белые кольца имеют одинаковую площадь поверхности. В испытательном изображении радиусы границ между светлыми и темными кольцами Френеля определяются выражением:

 

,                     (1)

 

где:  – радиус первого  кольца – центрального круга для бинарного профиля и первой от центра окружности с нулевым значением функции синус для синусоидального профиля.

 

Выберем значения двух уровней яркости для бинарных колец Френеля: 1 – для максимального и 0 – для минимального. При этом радиальный позитивный – p (при светлом центральном круге) профиль яркости бинарных – b колец Френеля можно определить выражением:

 

,                (2)

 

где: – обозначение Айверсона функции – «пол» – округление вниз,  – значение радиальной координаты изображения колец. Такое задание функции профиля обеспечивает быстрое ее вычисление, поскольку операция округления – быстрая.

 

При произвольных уровнях яркости: максимальном –  и минимальном –  заданный профиль яркости колец Френеля определяется выражением:

 

                       (3)

 

Инверсный – негативный – n (при темном центральном кольце) профиль яркости бинарных колец Френеля определяется выражением:

 

                      (4)

 

Графики выражений (2) и (4) приведены на рис. 2 красными линиями.

 

Соответствующие радиальные синусоидальные профили яркости колец Френеля определяются выражениями:

 

,                (5)

 

,                   (6)

 

графики которых приведены на рис.2 синими линиями. Аргумент функции синус выражений (5) и (6) можно представить в виде:

 

,                   (7)

 

где: – пространственная частота, линейно зависящая от радиальной координаты – r. Аналогичная зависимость от временной координаты, при частотной модуляции свип-генератора, используемого совместно с осциллографом, применяется при анализе радиотехнических цепей с целью получения их амплитудно-частотных характеристик – АЧХ.

 

Систему передачи изображения можно оценивать формой ее контрастно-частотной (частотно-контрастной) характеристики – КЧХ (ЧКХ) [2], которая определяется как отношение величины контраста репродукции (изображения, получаемого с помощью воспроизводящей системы), к контрасту соответствующей области оригинала (воспроизводимого объекта). КЧХ системы воспроизводящей изображение в общем случае зависит от направления измерения пространственной частоты из-за возможной анизотропии системы. Примером анизотропной системы является цифровая телевизионная система. Удобство использования колец Френеля в качестве оригинала обусловлено центральной симметрией их изображения, что обеспечивает необходимую изотропию оригинала.

 

Выражениями (2) – (6) с помощью алгебраических символов мы задаем непрерывный – континуальный образ колец Френеля. Изображение колец цифровой воспроизводящей системы дискретно, то есть состоит из отдельных дискретов – элементов – пикселей (piсture′s element – pix element – pixel). Можно выделить два варианта преобразования континуального образа колец в их цифровое изображение:

·         с выборкой континуального значения в центре пикселя;

·         с усреднением континуальных значений по площади пикселя.

Первый вариант может использоваться для создания эталонного – оригинального –  испытательного изображения с помощью принтера. Второй вариант моделирует создание репродукции оригинала с помощью цифровой фотокамеры. Рассмотрим далее оба варианта для синусоидального и бинарного профилей колец.